Funzione enumerativa dei primi

La funzione enumerativa dei primi o funzione pi greco sui positivi associa ad ogni numero positivo ${\displaystyle n}$ il numero dei numeri primi non superiori ad ${\displaystyle n}$, valore che si denota usualmente con ${\displaystyle \pi (n)}$.

Come successione di interi essa viene presentata nella OEIS in corrispondenza della sigla A000720.

Primi valori

I primi valori assunti dalla funzione in corrispondenza degli interi ${\displaystyle n=1,2,\ldots ,100}$ sono i seguenti:

Stime asintotiche

Lo studio dell'asintotica di ${\displaystyle \pi (x)}$ costituisce uno degli argomenti principali della teoria dei numeri analitica. Nel 1896, Hadamard e de la Vallée Poussin dimostrarono che

${\displaystyle \pi (x)\sim {\rm {Li}}(x),}$

dove ${\displaystyle {\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln {t}}}\,dt}$ è il logaritmo integrale, confermando quanto ipotizzato da Legendre e Gauss. L'ipotesi di Riemann predice che valga una versione più precisa di tale risultato:

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x) O\left({\sqrt {x}}\ln(x)\right).}$

Voci correlate

• Teorema dei numeri primi
• Teoria analitica dei numeri
• Funzione zeta di Riemann

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Prime Counting Function, su MathWorld, Wolfram Research.